#一些有用的坐标系

之所以需要不同的坐标系，是因为一些信息仅在某些坐标系下是有意义的，或者只能在某坐标系下获得，或更容易得到。

#世界坐标系

世界坐标系（World Spaces）是作为一个全局的存在，所有的其他坐标系都属于这个坐标系下。世界坐标系是需要关心的最大坐标系（类似于全集的概念）。

世界坐标系也被称为 全局坐标系(Global coordinate space)或者 统一坐标系（Universal coordinate space）。

#物体坐标系

物体坐标系（Object Space）是属于每一个物体的，即每个物体都有自己的物体坐标系，当这个物体移动时，物体坐标系也相应移动。

“向右转”就是物体坐标系的概念，而“向东走”就是全局坐标系的概念。

在图形学中，物体坐标系也被称为 模型坐标系（Model Space），或本地坐标系（Local Space）模型的顶点信息就描述在该物体的模型坐标系下。

#摄像机坐标系

物体坐标系的一个重要特例就是 摄像机坐标系（Camera Space），摄像机坐标系是关于用于渲染的视角的坐标系。

针对 Camera 这一游戏物体的物体坐标系，我们称之为摄像机坐标系。

在摄像机坐标系下， $+x$ 轴指向右侧， $+z$ 轴指向前方， $+y$ 指向上方

摄像机坐标系如下图所示：
相机坐标系

#直立坐标系

直立坐标系（Upright space）是这本书中提出的概念（在其他的教程或书籍中看不到这个概念），是作为世界坐标和物体坐标转化过程中的中间变量存在，如下图所示：

直立坐标系的原点与物体坐标系相同，直立坐标系的方向与世界坐标系相同。

下图为物体坐标系与世界坐标系经过直立坐标系转换的步骤：
物体坐标系到世界坐标系的转换

#基本向量和坐标系转换

将一个坐标系下的坐标转换为另一个坐标系下的坐标称为 坐标系转换（coordinate space transformation）。

#坐标系转换的两种角度

坐标系转换可以从两个角度来考虑：

主动转换（Active Transformation）：两个坐标系保持不动，物体的坐标进行转换
被动转换（Passive Transformation）：物体保持不动，坐标系进行转换

只需要注意的是，在从两个角度思考时，位移的方向是不同的。如上图从世界坐标转换到直立坐标系的过程：

如果思考角度是移动物体，那么物体是向左下移动，到了原点；
如果是从移动坐标系角度考虑，坐标系是向右上移动，到了原点。

另一点是，在进行旋转操作时，要保证物体处于当前坐标系的原点，因为一个坐标系下的旋转操作都是基于该坐标系的原点的。

所以在上图中，当从世界坐标系转换到本地坐标系时，会先移动转换到直立坐标系，因为前者坐标系物体不在原点，而后者在。同理在从本地坐标系转换到世界坐标系时，会先进行旋转，因为此时物体已经在原点了。

直立坐标系的引入，是为了引入一个中间坐标系以保证“进行旋转时，物体在当前坐标系的原点”。

#定义一个坐标系

坐标系是由原点和坐标轴两部分决定的，而一个坐标系的 原点和 坐标轴又是相对于另一个坐标系的。

如在展示三个坐标系的上图中：如果说机器人的高度是 $5.5$ 。那么

直立坐标系的原点在世界坐标系中的位置大约在 $(4.5.1.5)$ 。
物体坐标系中的 $(1,0)$ 点，在直立坐标系下大约是 $(0.87,0.5)$ 。
物体坐标系中的 $(0,1)$ 点，在直立坐标系下大约是 $(-0.5,0.87)$ 。
在直立坐标系中，向量 $(0.87,0.5)$ 的角度大约是 $30^{\circ}$ 。

因此两个坐标系的原点位差距为 $(4.5,1.5)$ ，角度差距在 $30^{\circ}$ 。

#向量转换公式

如果想要将一个坐标系下的点转换到另一个坐标系下，可以按以下公式进行计算：

$\mathbf{w}=\mathbf{o}+b_{x} \mathbf{p}+b_8999{y} \mathbf{q} + b\_{z} \mathbf{r}$

其中：

$(b_{x},b_{y},b_{z})$ 表示原坐标系下点的位置

$\mathbf{w}$ 表示该点在转换后的坐标系下的位置

$\mathbf{o}$ 为原坐标系的原点在新坐标系中的位置

$\mathbf{p}$ 为原坐标系下的 $x$ 轴在新坐标系下的表示， $\mathbf{q}$ 为原坐标系下的 $y$ 轴在新坐标系下的表示， $\mathbf{r}$ 为原坐标系下的 $z$ 轴在新坐标系下的表示。

如果求的是一个坐标系下的向量转换到另一个坐标系下，则可以无视掉 $\mathbf{o}$

#嵌套坐标系

因为通常而言，物体坐标系最后都要基于世界坐标系进行计算，如把不同的物体放在世界中的过程。

因此可以称世界坐标系是父空间，物体坐标系是子空间。

而物体坐标系可以进一步划分，如将一只羊作为物体坐标系，可以再进一步将其头作为物体坐标系的子坐标系，称为头坐标系。同理头坐标系下还可以耳朵坐标系等。

这种将不同部分层层划分的模型称为 关节模型（articulated model）。

一些运动在各自的坐标系下计算是很简单的，但是放在世界坐标系下将会很复杂。如羊一边走，一边摇头，一边上下翻动耳朵。对于耳朵坐标系而言，这只是 Y 轴的变化，但是对于世界坐标系而言，就是耳朵的运动轨迹就非常复杂了。